接前篇: [網站開發] 美股選擇權定價模型 - 新增風險係數 (希臘值)
做完選擇權估值模型大概快一個半月了, 目前我可以用選擇權理論估值跟目前市價計算Bias程度, 合約有大幅溢價時可以賣出選擇權; 相反的有大幅折價時則是買進選擇權, 另外我也有Delta值可以知道合約估值的行權機率, 用這些數據來決定要作買方還是賣方, 不過還有一個大問題, 今天我想買進或賣出時, 我到底應該要買進 / 賣出多少部位, 才能達到利益最大化呢?
另外也還有個問題, 今天我透過理論值以及實際值的偏差可以知道折價溢價, 在均值回歸的作用下, 長期的進行溢價時賣, 折價時買, 大數法則下通常長期下來是會有正報酬的, 可是今天也有可能, 大眾的方向一直是對的, 會溢/折價是因為大方向趨勢就是那樣, 跟著群眾大方向作對, 搞不好長期下來反而造成負報酬也說不定。
所以現在有兩個問題想要解決:
1. 交易時我該買進 / 賣出多少部位, 才能利益最大化?
2. 不考慮選擇權折溢價, 單純從標的物(股票)順勢交易的角度看, 我到底該買進, 還是賣出?
剛好這兩個問題, 都可以透過凱利公式解決, 關於凱利公式我相信有在投資的人應該都不陌生, 不過這邊我還是貼一下參考資料:
兼具強固性的下注建議 - 凱利公式 (Kelly Formula)
另外也推薦愛德華・索普這本書:
他是賭神，更是股神：從賭城連贏到華爾街的天才數學家，關於風險、財富和人生的第一手告白
蒙地卡羅公式的參數部分等等會再提, 先來看看怎麼完成選擇權的凱利公式吧, 首先我們可以先假設個股A的最近收盤價為100, 近一年報酬率為15%, 年化波動率也是15%, 跑10次蒙地卡羅模擬, 可以得到下面這張圖:
可以看到這10條線模擬, 最高股價可以到接近140塊, 最低則是80幾塊, 會這樣不均勻是因為年化報酬率是正值的關係, 如果我們把年化報酬率設成0, 則是如下:
看起來均勻一點了, 如果我們把模擬次數調更高, 結果應該會更顯著。
再來我們想計算個股A的某張B買權合約, 假設B合約行權價是102元, 離到期日還有100個交易日, 合約市價目前是3元, 來畫兩條橫線以及一條直線, 橫線分別是行權價(102)以及行權價 + B合約的市價(102+3=105), 直線則是到行權日還有幾個交易日(100)。
根據模擬結果, 紫線上在105元上面的6個點是模擬結果為有獲利的; 而紫線下面的4個點則是虧損, 其中介於紫線跟橘線的1個點是部分虧損(有行權但是扣掉合約價格為虧損), 橘線下面的3個點則是固定虧損(沒有行權故損失合約價), 這樣我們就能得到凱利公式所有需要的參數了:
- 獲利金額: (106-105)+(106-105)+(107-105)+(108-105)+(114-105)+(116-105) = 27元
- 獲利機率: 6/10 = 60%
- 虧損金額1(有行權但扣掉合約價為虧損): |(103 - 105)| = 2元
- 虧損金額2(沒有行權直接損失權利金): 3 + 3 + 3 = 9元
- 總虧損金額: 2 + 9 = 11元
- 虧損機率: 4/10 = 40%
賠率b = 27 / 11 = 2.4545; 下注比率 = p - (q / b) = 0.6 - (0.4 / 2.4545) = 43.7%
凱利公式建議每次下注可以下43.7%, 這邊要特別提醒的是, 凱利公式的前提條件是可重複的特定賭局, 而選擇權交易是不可重複的, 所以得出來的結果千萬不要就直接拿來用, 一定要估個安全邊際, 才能確保不會被雜訊或肥尾事件搞爆, 畢竟在不是重複賭局的情況, 賠率, 獲利機率跟下注比率每次都不一樣, 要是遇到一次高投注比率之後幾百次都是低下注比率, 那輸那一次就輸慘了, 公式只能是參考, 千萬不要盲信!
再來就是蒙地卡羅的模擬次數不夠多, 樣本數不夠的情況下, 模擬結果的信心程度也會大減, 下注比例最主要還是要以自己可承受的風險為最高原則。
上面計算的是買進 call / put的凱利公式計算, 而賣出 call / put的凱利公式其實算法也一樣, 畢竟選擇權是零和遊戲, 把獲利跟虧損換過來就行了(獲利有限, 風險無限)。
再來就是直接計算真實的選擇權合約了, 這部分已經實作進選擇權估值模型, 年報酬率的取得直接使用近一年的個股回報率, 波動率則是用之前做好的EWMA Volatility, 另外關於蒙地卡羅股價模擬的參數, 過去的波動率跟未來的波動率通常差距不大(除非有重大事件或營運忽然變化太大), 所以直接拿來用我覺得是可行的。 可是個股回報率這塊其實有點雞肋, 畢竟真要說起來, 過去的績效不代表未來的績效, 當然也有那種公司跟股價一起穩定成長的公司, 可是像景氣循環股, 或是相對公司營運反而炒作成分較大的個股, 用過去的個股回報率去模擬未來股價我反而覺得失真會更大, 所以這部份我乾脆就通通計算了, 分別使用個股年回報率=0以及過去一年回報率來計算對應的凱利公式。
整合後的結果如下:
可以看見, Bias折價極高的合約, 凱利公式大多建議是當買進一方, 大多數情況下, 極大折價的合約做買方是比較有優勢的, 不過相反情況其實也有可能, 如果Bias顯示是折價, 可是凱利公式建議你當賣方, 那表示可能合約價格的影響極低, 所以扣掉合約價(風險後), 剩下的就只剩勝算了, 只看勝算的話那Bias等於沒用(畢竟看折溢價要站在對立方才有意義, 價差不大就只剩波動率問題了), 等於只看能不能行權。
像上表其中一筆AMZN, 雖然折價高可是凱利公式建議當賣方, 可以看到因為AMZN的delta值極低(0.05), 這代表這份合約會行權的機率極低, 所以凱利公式建議我們當賣方是合理的。
那為什麼估值上Bias折價為什麼那麼高呢? 原因是比例問題, AMZN的目前股價3075元, 行權價3800元, 行權價跟現價差了23.55%, 距離行權日3/18只剩三星期, 所以很難行權, 可是合約還是有在交易, 而且便宜的驚人(0.35), 合約市價只佔標的物價格的0.0114%, 幾乎快跟免錢沒兩樣了, 而估值模型估出來的合理價是7.32元, 佔標的物價格的0.238%, 也是超級便宜, 所以估值模型的Bias會跟凱利公式不同調, 只是因為AMZN股價太高, 所以便宜的合約的Bias敏感度也跟著被拉高, 這也是不能單看Bias去做交易的關係, 而多了一項凱利公式作為判斷的基準, 讓我們在做買進 / 賣出決策時多了一個更好的參考點。
那反過來說, 是不是專挑凱利公式投注比率最高的交易就好呢? 來看看用凱利公式排序Buy的結果:
排序下來得到的都是價內合約, 所以delta值也幾乎是1, 照理說價內合約應該幾乎沒時間價值, 賠率低勝算高, 那為什麼凱利公式算出來的投注比率會高呢? 可以看看合約的最後交易日期, 都沒有最近一次交易日2/25, 代表這些合約其實都有點深度價內, 沒人在交易了, 所以標的物價格離很遠, 看起來賠率很高&因為在深度價內所以勝算也高, 但實際上這些合約都買不到了, 上面的價格已經是好幾天前的價格, 這些資料對交易基本上沒有參考價值。
看完Buy排序的結果, 再來看看Sell排序的結果吧:
跟想像的一樣, 都是深度價外的合約, delta值也都趨近於0, 代表這些合約幾乎不可能行權, 所以凱利公式才會建議下大注賣。
這次的分享就到這裡, 連假剩最後一天, 終於可以好好休息了~~~ XD
