以前看博弈理論相關類型的書時, 有接觸到不少有趣的公式, 例如21點最有名的方法就是算牌, 而最印象深刻又萬用的莫過於凱利公式了, 凱利公式是用來計算你在進行一場賭局時, 最佳的下注比例是多少。
舉個最簡單的例子, 今天有個遊戲是擲硬幣, 擲出正面的機率是51%, 反面則是49%, 賠率則是1 (猜對拿到賭金, 猜錯只失去賭金), 可以看出只要一直猜正面, 那這遊戲的期望值就會是正值, 在大數法則下是可以獲利的遊戲, 不過如果每天可以下注的次數是有限的, 那我們一次該下注多少資金才好?
1. 每次ALL IN 所有資金: 這是最蠢的作法, 雖然財富增長的速度最快, 可是只要輸一次就GAME OVER了, 不管猜贏再多次累積再多資金都一樣。
2. 每次只投注1元(最低賭金): 在期望值是正的情況下, 這種方法是穩定性最高的, 長期玩下去在大數法則下會持續穩定賺錢, 可是因為這遊戲每天的下注次數是有限的, 這種賭法財富的累積速度會非常慢。
而凱利公式就是為了解決上述這些問題, 我該如何找出這遊戲的最佳下注比例, 達到控制虧損下能有最大的財富增長速度。 凱利公式定義如下:
以上述的例子, 算出的投注比例是2%, 代表這遊戲其實不是個很有賺頭的遊戲, 不要一次下注太多去玩。 不過如果今天我們把賠率改大, 改成10000倍的話, 得到的值就是51%, 等於同獲利機率, 就像公式上所寫的, 在虧損機率極小或賠率極大的情況, 你可以放膽的把獲利機率直接當投注比率, 只要一直持續賭下去, 只要賭對的時候就能一口氣翻本, 讓財富增長快速; 但如果今天用凱利公式算出來的結果為負值, 那代表這遊戲期望值是負的, 根本不值得下注。
關於凱利公式更詳細的介紹, 推薦下面這篇blog文章, 有興趣的人可以看看:
兼具強固性的下注建議 - 凱利公式 (Kelly Formula)
再來就是今天的重點了, 我該怎麼把凱利公式套用在投資上面? 從公式看來, 凱利公式最適用於那種有明確概率的博奕遊戲, 在不考慮出千的情況, 遊戲的機率以及賠率都可以算出來, 但是以股票投資來說的話, 幾乎每個參數都是無法預測的值, 那我該怎麼靠該公式計算出分配每個個股的資金比例? Google了一下有找到下面這篇文章:
Using the Kelly Criterion for Asset Allocation and Money Management
簡單來說, 就是直接看你過去近50~60筆交易紀錄, 這樣你就能計算出過去的獲利 / 虧損機率以及獲利比, 這樣就能用凱利公式算出你該分配每檔個股的資金比例。 不過認真說, 個人對於上述做法是有點存疑的, 畢竟不同時期點投資的個股&對應的產業類別也不一樣, 所以對應的波動程度也可能落差很大, 而這會造成獲利 / 虧損的比例有大幅度改變, 而且算出來的值最後也是一個一體適用的值, 不是針對不同個股的資金比例。
自己也思考了一下, 以我個人來說, 投資個股以基本面來說不外乎可以分為成長股以及價值股, 而技術面來說則是破新高, 破新低, 盤整三種型態, 至於該怎麼得出凱利公式需要的參數, 以下是自己的想法:
1. 成長股:
基本上你很難得出明確的獲利 / 虧損金額以及機率, 像上面的凱利公式介紹文章, 作者是直接用"個人看法"去得出這些參數, 這變成了真正的名符其實的"期望值", 個人是覺得這樣還套用凱利公式其實意義不大了, 目前自己也沒想出什麼好方法...。
2. 價值股:
以價值股來說, 只要這間公司是賺錢的好公司, 那我們可以假設這間公司的EPS至少不會下降, 那以最簡單的做法的話我們只要靠本益比來定義目前股價貴或便宜就好, 本益比高到某個值我們就會賣出, 所以可以當作獲利金額, 而股價要是下跌到某個值我們會自動執行停損, 所以也可以得到虧損金額。至於獲利機率跟虧損機率, 我們可以用最新的收盤價比較過去N天的股價, 看N天裡大於以及小於最新收盤價的天數, 就可以得出這檔股票在過去N天裡以現在收盤價來說, 獲利 / 虧損的天數比例。
3. 破新高 / 破新低:
跟成長股一樣, 很難去估算凱利公式需要的參數...。
4. 盤整股(區間整理):
盤整股的話, 獲利 / 虧損金額我們可以用過去N天的壓力 / 支撐價位來看, 然後通常來說, 我們不會真的到壓力才獲利了結, 到支撐才停損出清, 所以我是以超過最新收盤價的所有收盤價平均當作高標(相對壓力), 低於最新收盤價的所有收盤價平均當作低標(相對支撐); 而獲利機率跟虧損機率則是跟價值股做法一樣, 計算N天中的高於 / 低於最新收盤價的天數就好。
從上述做法, 看起來價值股 / 盤整股是可以有個明確方法計算凱利公式的, 不過以價值股來說, 不同產業的公司本益比相對高低點並不一樣, 像是分類到價值股的科技股, 本益比一定也比傳產個股高, 必須因應不同產業別定出相對本益比的高低。 而盤整股則是只要有過去的歷史股價就能做, 所以就決定先做盤整股了。
原本是想再用React做一個好用公式整理的網站, 可是目前想到能做的也只有凱利公式, 一個網站只放一個計算公式也怪怪的, 所以最後還是決定先做在自己個人網頁上了, 也順便用Github Action每天幫我用凱利公式計算目前持有標的的建議資金比例, 成果如下:
https://project.zmcx16.moe/?page=investment-formula
用巴菲特目前最喜歡的銀行股來計算區間整理的凱利公式, 得到的結果:
凱利公式算出來的建議資金比例是12.63%, 這代表以區間整理的個股來說, BAC是一間值得投資的公司。 不過這一切的前提還是BAC目前是盤整股的情況, 如果用成長股或破新高個股來計算, 得到的結果就會錯得很離譜, 例如用目前火紅的TSLA來看:
可以看到得到的數值是負的, 因為TSLA一直在破新高, 所以想當然用區間整理的方法當然會得出虧損機率超高的結果。
再來就是用凱利公式來檢視目前持有的個股了, 用區間整理的公式來計算每個個股的建議資金配置比例, 再將結果Normalize總和為100%, 結果如下:
其中只有DHI是0, 因為DHI是我目前持有標的中唯一的成長股, 所以一點也不意外。 至於其他個股中建議資金比例高的, 都是以180天來說目前股價都很低的股票, 如果真的是區間整理股, 那當然越跌越買之後的獲利就會越大, 可是如果真的看錯, 其實是破新低的個股或根本已經從價值股脫離成虧錢的公司, 那資金放越多就會虧損得更可怕..., 價值投資真的是兩面刃阿...。
考慮到交易手續費以及重壓的風險, 目前上面這張表我應該就先當參考用, 等到之後有新的投資標的或想轉換標的時, 我才想用凱利公式來計算資金比例, 趁這段時間也來研究一下其他類型的個股要怎麼用凱利公式算, 如果有人有什麼好想法或是有其他推薦的好用公式, 歡迎一起互相分享交流~。
P.S. 這次的新頁面的看板圖原本想放一張黑板上有寫一大堆各種數學公式的圖, 可是後來敗給中二病, 就決定換成卡巴拉的生命之樹了, 有看EVA或鋼鍊的人對這棵樹應該不陌生吧XD
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